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基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（一）：晶體結(jié)構(gòu)要點(diǎn)

來源：本站時(shí)間：2020-11-06 16:36:43 瀏覽：8238次

第一節(jié) 晶體結(jié)構(gòu)要點(diǎn)

首先，說明以下幾個(gè)概念：平移群，點(diǎn)群，空間群，原胞，晶胞，布拉伐格子，晶系，晶面，布里淵區(qū)。

晶體（crystal），是原子、離子或分子周期性排列的結(jié)構(gòu)。

格子（格點(diǎn)）（lattice），是數(shù)學(xué)上的點(diǎn)構(gòu)成的周期性結(jié)構(gòu)。

群，是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，在集合上封閉的運(yùn)算，運(yùn)算滿足結(jié)合律，存在單位元，存在逆元，定義為群。可以將空間中的晶體格子坐標(biāo)看成集合，在考慮塊材性質(zhì)時(shí)，可以認(rèn)為晶體在空間無限延伸，允許其轉(zhuǎn)動(dòng)、平移，則可以構(gòu)成群，轉(zhuǎn)動(dòng)、反演為群的運(yùn)算，或稱之為變換、操作。

如果只允許平移，稱為平移群。

如果只允許轉(zhuǎn)動(dòng)（含空間反演、鏡像），稱為點(diǎn)群，3維空間中的點(diǎn)群有32種。

如果允許轉(zhuǎn)動(dòng)和平移的復(fù)合操作，稱為空間群，3維空間中的空間群有230種。指定了空間群的類型，我們只需要知道在空間群操作下不重復(fù)的原子位置，就可以確定晶體結(jié)構(gòu)，這些不重復(fù)的位置稱為Wyckoff位置，QE輸入有space_group和ATOMIC_POSITIONS { crystal_sg }來專門設(shè)置。

保持平移對(duì)稱性的最小單元是原胞。

保持平移對(duì)稱性和點(diǎn)群對(duì)稱性的最小單元是晶胞。

布拉伐格子是按照基元+格子的概念定義的，確定布拉伐格子應(yīng)滿足：（1）所選平行六面體必須充分反映出格子的點(diǎn)群與平移群，即平行六面體必須與整個(gè)格子的晶系特征一致。（2）所選擇平行六面體各個(gè)棱之間夾角為直角的數(shù)目最多，不為直角者盡可能地接近直角。（3）在滿足上述（1）（2）條件后，所選擇的平行六面體的體積應(yīng)為最小。布拉伐格子即為晶胞。3維空間的布拉伐格子有14種。下圖（https://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice）是14種布拉伐格子的基矢a,b,c及夾角所具有的特定關(guān)系。

在特定的平移、旋轉(zhuǎn)操作下，晶體保持不變，這種在某種操作下不變的性質(zhì)稱之為體系的對(duì)稱性，不同的操作定義了不同的對(duì)稱性，例如，沿方向平移2個(gè)平移基矢等。體系的薛定諤方程，由于體系的對(duì)稱性，也具有變換下不變的性質(zhì)，于是有量子數(shù)來標(biāo)記這些變換，晶體平移對(duì)稱性是一系列準(zhǔn)連續(xù)的k值所標(biāo)記的，k點(diǎn)所在空間稱為k空間，k空間是相對(duì)晶體的原胞定義的，計(jì)算晶體的能帶就是在k空間進(jìn)行的，k空間也具有周期性，取原點(diǎn)周圍的魏格納-塞茨原胞，稱為第一布里淵區(qū)。

晶面是相對(duì)于晶胞定義的。

按照晶體具有的點(diǎn)群分類，分為7種晶系（crystal system），即：triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, trigonal, hexagonal和cubic。

14種布拉伐格子，分為7種格點(diǎn)系（lattice systems），即：triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, rhombohedral, hexagonal和cubic。

晶系和格點(diǎn)系的區(qū)別見注2。

注2：trigonal三方晶系有兩種布拉伐格子，一種是ibrav=5，菱方（rhombohedral）布拉伐格子，另一種是ibrav=4，六方（hexgonal）布拉伐格子，晶體屬于菱方還是六方要看具體的空間群，在hexgonal和trigonal晶系中，7個(gè)空間群：

具有菱方布拉伐格子的原胞，其余的45個(gè)空間群具有六方布拉伐格子的原胞。這里的菱方和六方是指晶體的格點(diǎn)系統(tǒng)lattice system，而非晶系，格點(diǎn)系統(tǒng)是按照布拉伐格子分類的，晶系是按照晶體點(diǎn)群分類的。

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