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基于Quantum Espresso的第一性原理計算建模教程（一）：晶體結構要點

來源：本站時間：2020-11-06 16:36:43 瀏覽：7816次

第一節晶體結構要點

首先，說明以下幾個概念：平移群，點群，空間群，原胞，晶胞，布拉伐格子，晶系，晶面，布里淵區。

晶體（crystal），是原子、離子或分子周期性排列的結構。

格子（格點）（lattice），是數學上的點構成的周期性結構。

群，是一種代數結構，在集合上封閉的運算，運算滿足結合律，存在單位元，存在逆元，定義為群。可以將空間中的晶體格子坐標看成集合，在考慮塊材性質時，可以認為晶體在空間無限延伸，允許其轉動、平移，則可以構成群，轉動、反演為群的運算，或稱之為變換、操作。

如果只允許平移，稱為平移群。

如果只允許轉動（含空間反演、鏡像），稱為點群，3維空間中的點群有32種。

如果允許轉動和平移的復合操作，稱為空間群，3維空間中的空間群有230種。指定了空間群的類型，我們只需要知道在空間群操作下不重復的原子位置，就可以確定晶體結構，這些不重復的位置稱為Wyckoff位置，QE輸入有space_group和ATOMIC_POSITIONS { crystal_sg }來專門設置。

保持平移對稱性的最小單元是原胞。

保持平移對稱性和點群對稱性的最小單元是晶胞。

布拉伐格子是按照基元+格子的概念定義的，確定布拉伐格子應滿足：（1）所選平行六面體必須充分反映出格子的點群與平移群，即平行六面體必須與整個格子的晶系特征一致。（2）所選擇平行六面體各個棱之間夾角為直角的數目最多，不為直角者盡可能地接近直角。（3）在滿足上述（1）（2）條件后，所選擇的平行六面體的體積應為最小。布拉伐格子即為晶胞。3維空間的布拉伐格子有14種。下圖（https://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice）是14種布拉伐格子的基矢a,b,c及夾角所具有的特定關系。

在特定的平移、旋轉操作下，晶體保持不變，這種在某種操作下不變的性質稱之為體系的對稱性，不同的操作定義了不同的對稱性，例如，沿方向平移2個平移基矢等。體系的薛定諤方程，由于體系的對稱性，也具有變換下不變的性質，于是有量子數來標記這些變換，晶體平移對稱性是一系列準連續的k值所標記的，k點所在空間稱為k空間，k空間是相對晶體的原胞定義的，計算晶體的能帶就是在k空間進行的，k空間也具有周期性，取原點周圍的魏格納-塞茨原胞，稱為第一布里淵區。

晶面是相對于晶胞定義的。

按照晶體具有的點群分類，分為7種晶系（crystal system），即：triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, trigonal, hexagonal和cubic。

14種布拉伐格子，分為7種格點系（lattice systems），即：triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, rhombohedral, hexagonal和cubic。

晶系和格點系的區別見注2。

注2：trigonal三方晶系有兩種布拉伐格子，一種是ibrav=5，菱方（rhombohedral）布拉伐格子，另一種是ibrav=4，六方（hexgonal）布拉伐格子，晶體屬于菱方還是六方要看具體的空間群，在hexgonal和trigonal晶系中，7個空間群：